Exponenten- und Radikalgesetze (mit Beispielen)

Die Exponenten- und Radikalgesetze begründen a vereinfachte oder zusammengefasste Arbeitsweise einer Reihe numerischer Operationen mit Potenzen, die einer Reihe mathematischer Regeln folgen.

Der Ausdruck a heißt seinerseits Potenz^nein, (a) stellt die Basiszahl dar und (nth) ist der Exponent, der angibt, wie oft die Basis multipliziert oder erhöht werden soll, wie im Exponenten ausgedrückt.

Gesetze der Exponenten

Der Zweck der Exponentengesetze besteht darin, einen numerischen Ausdruck zusammenzufassen, der, wenn er vollständig und detailliert ausgedrückt würde, sehr umfangreich wäre. Aus diesem Grund werden sie in vielen mathematischen Ausdrücken als Potenzen entlarvt.

Beispiele:

5² Es ist dasselbe wie (5) ∙ (5) = 25. Das heißt, Sie müssen 5 zweimal multiplizieren.

2³ Es ist dasselbe wie (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Das heißt, Sie müssen 2 dreimal multiplizieren.

Auf diese Weise ist der numerische Ausdruck einfacher und weniger verwirrend zu lösen.

1. Potenz mit Exponent 0

Jede Zahl, die zu einem Exponenten 0 erhöht wird, ist gleich 1. Es ist zu beachten, dass die Basis immer von 0 verschieden sein muss, d. h. eine 0.

Beispiele:

zu⁰ = 1

-5⁰ = 1

2. Potenz mit Exponent 1

Jede Zahl, die zu einem Exponenten 1 erhöht wird, ist gleich sich selbst.

Beispiele:

zu¹ = a

7¹ = 7

3. Produkt von Potenzen gleicher Basis oder Multiplikation von Potenzen gleicher Basis

Was ist, wenn wir zwei gleiche Basen (a) mit unterschiedlichen Exponenten (n) haben? Das heißt, zu^nein ∙ zu^ich. In diesem Fall werden die gleichen Basen beibehalten und ihre Potenzen hinzugefügt, d. h.: a^nein ∙ zu^ich = a^{n + m}.

Beispiele:

2² ∙ 2⁴ ist gleich (2) ∙ (2) x (2) (2) ∙ (2) ∙ (2). Das heißt, die Exponenten 2 werden addiert²⁺⁴ und das Ergebnis wäre 2⁶ = 64.

3⁵ ∙ 3^-2 = 3^5+(-2) = 3^5-2 = 3³ = 27

Dies geschieht, weil der Exponent der Indikator dafür ist, wie oft die Basiszahl mit sich selbst multipliziert werden soll. Daher ist der letzte Exponent die Summe oder Subtraktion der Exponenten, die dieselbe Basis haben.

4. Division von Potenzen gleicher Basis oder Quotient von zwei Potenzen gleicher Basis

Der Quotient zweier Potenzen gleicher Basis ist gleich der Erhöhung der Basis um die Differenz des Exponenten des Zählers minus dem Nenner. Die Basis muss sich von 0 unterscheiden.

Beispiele:

5. Potenz eines Produkts oder Distributivgesetz der Potenzierung in Bezug auf die Multiplikation

Dieses Gesetz legt fest, dass die Potenz eines Produkts in jedem der Faktoren auf den gleichen Exponenten (n) erhöht werden muss.

Beispiele:

(a ∙ b ∙ c)^nein = a^nein b^nein c^nein

(3 ∙ 5)³ = 3³ ∙ 5³ = (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 3375.

(2ab)⁴ = 2⁴ ∙ zu⁴ b⁴ = 16 to⁴b⁴

6. Macht anderer Macht

Es bezieht sich auf die Multiplikation von Potenzen, die die gleichen Basen haben, aus denen eine Potenz einer anderen Potenz gewonnen wird.

Beispiele:

(zu^ich)^nein = a^{m ∙ n}

(3²)³ = 3^2∙3 = 3⁶ = 729

7. Gesetz des negativen Exponenten

Bei einer Basis mit negativem Exponenten (a^-n) müssen wir die Einheit dividiert durch die Basis nehmen, die mit dem positiven Vorzeichen des Exponenten erhöht wird, also 1 / a^nein . In diesem Fall muss die Basis (a) von 0 verschieden sein, a 0.

Beispiel: 2^-3 als Bruch ausgedrückt ist:

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Gesetze der Radikalen

Das Radikalgesetz ist eine mathematische Operation, die es uns ermöglicht, die Basis durch die Potenz und den Exponenten zu finden.

Die Radikale sind die Quadratwurzeln, die wie folgt ausgedrückt werden √, und bestehen darin, eine Zahl zu erhalten, die multipliziert mit sich selbst ergibt, was im numerischen Ausdruck steht.

Die Quadratwurzel von 16 wird beispielsweise wie folgt ausgedrückt: √16 = 4; das bedeutet 4.4 = 16. In diesem Fall ist es nicht notwendig, den Exponenten zwei in der Wurzel anzugeben. Im Rest der Wurzeln jedoch ja.

Beispielsweise:

Die Kubikwurzel von 8 wird wie folgt ausgedrückt: ³√8 = 2, d. h. 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Andere Beispiele:

^nein√1 = 1, da jede mit 1 multiplizierte Zahl gleich sich selbst ist.

^nein√0 = 0, da jede mit 0 multiplizierte Zahl gleich 0 ist.

1. Radikales Widerrufsrecht

Eine zur Potenz (n) erhobene Wurzel (n) hebt auf.

Beispiele:

(^neina)^nein = ein.

(√4 )² = 4

(³√5 )³ = 5

2. Wurzel einer Multiplikation oder eines Produkts

Eine Wurzel einer Multiplikation kann unabhängig von der Art der Wurzel als Multiplikation von Wurzeln getrennt werden.

Beispiele:

3. Wurzel einer Division oder eines Quotienten

Die Wurzel eines Bruchs ist gleich der Division der Wurzel des Zählers und der Wurzel des Nenners.

Beispiele:

4. Wurzel einer Wurzel

Wenn es eine Wurzel innerhalb einer Wurzel gibt, können die Indizes beider Wurzeln multipliziert werden, um die numerische Operation auf eine einzelne Wurzel zu reduzieren, und der Radikand wird beibehalten.

Beispiele:

5. Wurzel einer Macht

Wenn wir einen Exponenten in einer hohen Zahl haben, wird er als die Zahl ausgedrückt, die durch Dividieren des Exponenten durch den Index des Radikals erhöht wird.

Beispiele: